GPU-READY · 2D DIRICHLET SOLVER

从随机路径，
看见场。

二维 Laplace 方程的 Monte Carlo 实验台。配置网格与采样规模，实时观察电势、误差和电场结构。

GOVERNING EQUATION

\nabla^{2} V = 0

E = - \nabla V

Ω ⊂ ℝ² · V|_∂Ω = g

运行时间—ms

解析解 RMSE—

平均标准误差—

场强均值—

—

—

—

E = −∇V

THE MATHEMATICS

一次随机游走，
就是一次边界测量。

调和函数在内部点的值，等于从该点出发的随机游走首次命中边界时，边界值的数学期望。

I · HARMONIC

V (p) = \frac{1}{4} \sum_{q \sim p} V (q)

离散 Laplace 方程：一点的电势等于四个相邻点的平均。

→

II · EXPECTATION

V (p) = E [g (X_{τ})]

X_τ 是轨迹第一次到达 ∂Ω 的位置，g 是该处边界值。

→

III · ESTIMATOR

{\hat{V}}_{N} (p) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} g (X_{τ}^{k})

用 N 条相互独立的轨迹均值，得到内部电势的 Monte Carlo 估计。

CONVERGENCE LAW

SE ({\hat{V}}_{N}) = \sqrt{\frac{Var [g (X_{τ})]}{N}} \propto N^{- 1 / 2}

采样数增加 4 倍，统计误差约减半。